Rozumět nestabilitě: Mandelbrot, fraktály a finanční krize

3. 11. 2010

Před několika dny velký matematik, tvůrce fraktální geometrie a dalších zázraků úzce spojených s teorií chaosu, opustil tento svět.

Výraz "fraktál" prosazovaný Mandelbrotem označuje logický semigeometrický tvar, jenž může být rozdělen kolikrát jen chcete, a pokaždé, když se na tyto malé části podíváte zblízka, nakonec naleznete repliku originálního tvaru. Nejlepším příkladem je slavná Kochova sněhová vločka, v níž záhyby jsou úzce spojeny se vzory podobnosti mezi částí a celkem. Jiným příkladem je květák: Nehledě na to, kolikrát ho rozdělíte, když jsou kousky opticky zvětšeny, objeví se znova tytéž nerovnosti a záhyby. Vlastnost sebepodobnosti (self-similarity) se vynořuje i v těch nejtitěrnějších drobcích.

V roce 1963 Mandelbrot analyzoval variace cen bavlny v časové sérii začínající rokem 1900. Dospěl ke dvěma důležitým zjištěním. Za prvé, pohyb cen měl jen velmi málo společného s normálním rozložením, v němž podstatná část pozorování leží poblíž průměru (68% dat se nachází uvnitř intervalu vymezeného standardní odchylkou). Namísto toho data ukázala velkou frekvenci extrémních variací. Za druhé, cenové variace sledovaly vzory, jež byly indiferentní vůči měřítku: Křivka popisující změny cen během jediného dne se podobala křivce za celý měsíc. Tyto vzory sebepodobnosti byly přítomny v celé periodě vymezené lety 1900-1960, v násilné epoše, jež byla svědkem Velké deprese i dvou světových válek.

Mandelbrot použil teorii fraktálu k vysvětlení přítomnosti extrémních událostí na Wall Street. V roce 2004 publikoval knihu o "nevychovanosti" finančních trhů. Základní myšlenka spojující fraktály s finančními trhy tvrdí, že pravděpodobnost, že narazíme na extrémní fluktuace (jako ty vyvolané stádním chováním) je větší, než by odpovídalo obecnému přesvědčení. To samozřejmě přináší přesnější pohled na riziko ve světě financí.

Hlavním smyslem finančních trhů je maximalizovat zisk na dané hladině rizika. Standardní modely jsou založeny na předpokladu, že pravděpodobnost extrémních variací cen aktiv je velmi malá. Tyto modely spoléhají na předpoklad, že fluktuace cen aktiv jsou výsledkem řádného náhodného nebo stochastického procesu. Proto mainstreamové modely (jako proslulý model Black-Scholes) používají k popisu pohybů cen normální probabilistické distribuce. Podle těchto modelů lze extrémní variace ze všech praktických hledisek ignorovat.

Mandelbrot se domníval, že tohle je otřesný způsob, jak pohlížet na finanční trhy. Pro něj nebyla distribuce pohybů cen normálně rozložena a vyznačovala se strmostí doprovázenou četnými excesy. To je správnější reprezentace finančních trhů: Pohyby indexu Dow za posledních sto let ukazují znepokojivou tendenci k náhlým změnám směru. Nicméně konvenční modely tyto extrémní variace vylučují a domnívají se, že k nim může docházet pouze jednou za 10 000 let!

Zřejmým důsledkem Mandelbrotovy práce je, že větší regulace finančních trhů je nezbytná. Dnes, tři roky po propuknutí globální krize, jsou reformy finančního systému zjevně nedostatečné (ať už v podobě Volckerova plánu nebo Doddova-Frankova zákona).

Mandelbrot potvrdil, co víme o nestabilitě trhů, zejména finančních. Avšak jeho analýza se nesoustředila na příčiny této nestability nebo původ finančních krizí. Mnozí si pohrávali s myšlenkou aplikace Mandelbrotových fraktálů v ekonomické analýze. Nicméně všem, kdo se zajímají o fraktály, teorii chaosu, komplexní a nelineární systémy, je patrně vhodné připomenout Koopmanovo varování (v knize Three Essays on the State of Economic Science): Ekonomové musejí předtím, než začnou pátrat po nových matematických nástrojích, překovat pojmy své disciplíny.

Mandelbrot nebyl ekonomem. To snad vysvětluje, proč se snažil studovat, jak trhy doopravdy fungují. Je to lepší než defektní dvousetletý výzkumný program ekonomické teorie posedlý cílem dokázat (bezúspěšně), že trhy jsou efektivní. V souvislosti s dnešní krizí Mandelbrot otevřel okno a vpustil dovnitř trochu čistého vzduchu.

Krása fraktální geometrie nezná hranic. Možná už byla popsána v prvních verších Blakeovy proslulé básně Proroctví nevinnosti:

(Český překlad Zdeněk Hron)

Celý článek v angličtině: ZDE