Ještě jednou k té matematice

22. 4. 2010 / Hynek Bíla

Nejdříve k páně Šimůnkově článku. Za prvé, nikde jsem nenapsal, že jsem zastáncem povinné maturity z matematiky. (K mému skutečnému postoji se ještě dostanu níže.) Za druhé, nikdy jsem neřekl, že chci, aby se student naučil zpaměti způsob odvození logaritmu. Proboha, celý můj původní článek byl v prvním přiblížení propagandou proti učení se zpaměti čemukoli. (A zase, nepopírám nutnost se některým věcem zpaměti naučit, jen je nutno znát správnou míru.) A nakonec, nejsem hlupák, abych předpokládal, že na střední škole se každý naučí namalovat Monu Lisu, či potažmo dokázat Velkou Fermatovu větu. Mluvil-li jsem o matematice jako o umění, nijak to neimplikuje, že mám na mysli mistrovská díla obdivovaná celým lidstvem. Bezejmenný výtvarník malující portréty na Karlově mostě či bubeník amatérské kapely také provozují umění. Slovo "umění" jsem neužíval ve smyslu, v jakém jej Jan Šimůnek chápe, tj. "skutečná umělecká díla [která] mohou [tvořit] pouze mimořádně nadaní jedinci", ale spíš ve smyslu jakékoli dovednosti vyžadující tvořivost. Ne tedy v dichotomii "umění" versus "brak", ale spíš "umění" versus "otrocká práce".

Pokud pro okamžik pominu některé jeho další problematické názory (k nim viz závěrečný dodatek), hlavní teze pana Šimůnka se jeví být následující: Matematika má být vyučována jako seznam postupů, které po svém zvládnutí umožňují naprosto bez jakékoli další --- byť elementární --- duševní námahy řešit praktické problémy tohoto světa. Umět matematiku v tomto podání, to je znát dlouhý seznam vět typu: Když mám roztok určité látky o koncentraci c₁ a druhý roztok téže látky o koncentraci c₂, a chci získat roztok o koncentraci c, musí poměr prvního ku druhému při mísení být roven (c₂-c)/(c-c₁).

Jestli má školská matematika vypadat takto, pak mě prosím počítejte nejen mezi odpůrce povinných maturit z matematiky, ale i jejího samotného vyučování.

Vše krásné v matematice stranou; kolik vět podobného typu byste si byli schopni zapamatovat a během jediného roku je nezapomenout? Deset? Třicet? Existuje někdo, kdo si jich zapamatuje sto? Včetně toho, jak má být poslední výraz uzávorkován? Aniž by měl sebemenší tušení, jak správnost takového postupu ověřit? A naproti tomu, kolik je matematických problémů, na které můžete s nezanedbatelnou pravděpodobností narazit v životě? Aby bylo zřejmé, jakou monstrozitu pan Šimůnek zastává: když budu v naší úloze pro mísení roztoků znát poměr při mísení, ale nebudu znát výslednou koncentraci c, není problém, ovšem pouze pokud mám v paměti další nezávislý výpočetní postup. Když budu znát výslednou koncentraci, ale nebudu znát c₁, z paměti vylovím jiný algoritmus. Když budu mísit tři roztoky, pamatuji si další vzorec. Jo a pokud mě napadne náhodou počítat, za jak dlouho přejede auto specifikovanou rychlostí most? Vzpomínám si přece, že zrovna tohle jsme se na střední škole učili spočítat, ale jenom tehdy, známe-li délku auta.

Nemohu si pomoct, ale tato strategie nefunguje. Můžete se ve škole naučit, že obsah kruhu je πr², ale nemůžete se naučit sto tisíc algoritmů pokrývající všechny matematické problémy, se kterými máte šanci se potkat, každý algoritmus zvlášť. Máte ale příležitost se naučit matematicky myslet, a díky tomu být schopni tyto problémy řešit. Soudě podle jeho článků, pan Šimůnek možná svou příležitost propásl, to ovšem neznamená, že příležitost neexistuje. Matematické postupy jsou součástí mnoha řemesel --- chceme-li je tak nazývat --- která je možno se naučit vykonávat mechanicky (byť velmi nerad vidím, když epidemiolog mechanicky prokládá daty regresní křivku, aniž by rozuměl idei lineární regrese, a pak vyvozuje závěry, a doufám nemusím vysvětlovat proč), ale matematiku samotnou nemá smysl tímto způsobem vyučovat. Praktickým dovednostem má cenu se učit zároveň s jejich praktickou aplikací. Algoritmus pro výpočet koncentrace směsí nechť se vyučuje v chemii, v okamžiku, kdy je ho potřeba, ne v matematice rok napřed, nebo pět let napřed v případě dovedností, které použijeme až na universitě nebo v profesionální praxi. Matematika, to je schopnost algoritmy vymýšlet, nikoli je vykonávat.

Obecněji vzato, existuje rozšířené povědomí, že matematika je praktický předmět, a učíme se ji proto, abychom ji pak mohli aplikovat v budoucím povolání. Jenže, proč jenom matematika? Jaký máme praktický přínos ze znalosti literatury? Kolik z nás ji potřebuje k výkonu své profese? Určitě je takových méně, než těch, co užívají matematiku. Kdyby někdo obhajoval povinnou maturitu z literatury jejím praktickým využitím v profesionálním životě, byl by za idiota. Literatuře se učíme, protože přináší nové pohledy na svět, protože činí náš život zajímavějším, protože má estetickou hodnotu. Protože sečtělost je považována za přirozenou součást vzdělání. Těžko tvrdit, že by současný přístup ve výuce literatury byl efektivní v dosahování těchto cílů, ale aspoň jsou si jich všichni vědomi. I u předmětů jako je fyzika, chemie či biologie se tak nějak připouští, že každý vzdělaný člověk by prostě měl vědět, že tělesa se pohybují rovnoměrně, nepůsobí-li na ně síla, že helium je inertní a tudíž nevytváří sloučeniny, či že ptakopysk je savec; měl by to vědět, i když mu za to téměř jistě nikdo mzdu nedá. Zato matematika je viděna jako zdroj praktičnosti, a podle toho vypadají argumenty točící se kolem jejího vyučování.

Podíváme-li se na celkový obsah výuky na středních školách gymnaziálního typu, težko je interpretovat jako místo přípravy na budoucí povolání. Pokud by tohle byl účel, pak celé střední školství, snad kromě učilišť, je obrovským selháním, neskutečným plýtváním časem a penězi. Samozřejmě, že se na gymnáziu studenti neučí řemeslu. Učí se tam nebýt ignorantem, primitivem, nevzdělancem, omezencem a fachidiotem, prostě být aspoň trochu kulturním člověkem. A já jsem pouze přesvědčen, že tak jako patří ke kulturnosti povědomí o dinosaurech, Napoleonovi a slovesném vidu, tak k ní patří i povědomí o goniometrických funkcích a výrokové logice, a v zásadní míře k ní patří schopnost abstraktně uvažovat. Byť to třeba je, Šimůnkovými slovy, mentální masturbace.

A co se týká maturity? Otázka je, co má být jejím účelem. Má-li nahradit přijímací zkoušky na vysoké školy, pak je potřeba testovat na vysoké úrovni dovednosti z několika málo předmětů, v jejichž výběru musí student dostat co největší volnost. Má-li zajišťovat úroveň všeobecného vzdělávání, pak musí mít mnohem širší, a to znamená i mělčí záběr.

Na základě svých zkušeností se kloním k postoji možná radikálnímu: ať není žádný předmět povinný. Ať maturita sestává z všeobecného relativně snadného testu, pokrývajícího všechny oblasti znalostí, a tří až pěti těžkých zkoušek z předmětů, které si student všechny sám vybere s ohledem na svoje schopnosti a zájmy. Všeobecný test by kontroloval, zda z gymnázia nelezou fachidioti, a zkoušky z výběrových předmětů by prokazovaly schopnost hlouběji proniknout do detailů jednotlivých oborů, a byly by i způsobem přípravy na případné následné vysokoškolské studium. Někdo by maturoval jen z humanitních předmětů, někdo jen z technických, jiný by vzal od každého něco. Nevidím v tom problém. Co se učíme s nechutí stejně brzy zapomeneme --- kromě nechuti, ta přetrvá. A dobrovolnější verze maturity může mít vyšší úroveň, poněvadž už nebude potřeba držet ji tak nízko, aby na ni dosáhli všichni.

Dodatek: Ve výše odkazovaném textu pana Šimůnka je pár věcí, jež podle mě volají o komentář, i když leží mimo hlavní linii mé odpovědi. Komentáře k těmto věcem shrnuji v následujících odstavcích.

Jako první mě zarazila následující pasáž:

Nikdy jsem se nesetkal se situací, že by ln p^q znamenalo (ln p)^q. Interpretace vzorce ln p^q je jednoznačná, není ji třeba odnikud odvozovat. Je to jedna z těch konvencí, které jsou pevně dodržovány a ve všech učebnicích jsou stejně --- ne, že by v matematice nebylo dost nejednot ve značení, ale tohle není jedna z nich. A i kdyby priorita operací nebyla pevně daná, tak smysl vzorce odvodit lze: pokud víte, že umocňování a násobení jsou různé operace, musí vám být jasné, že tvrzení (ln p)^q= q(ln p) těžko může platit pro všechna p a q.

Matematikové se občas vyjadřují nejednoznačně, jako nakonec každý, a občas se vyjadřují jednoznačně tak, že z toho bolí hlava. Jak je v dané situaci potřeba. Jakákoli komunikace vyžaduje, aby obě strany rozuměly jazyku, kterým spolu hovoří. Není možné před každým vzorcem definovat všechny potřebné pojmy a konvence. A dávat za příklad překladač, který havaruje při kompilaci výrazu vyhovujícího normě svého vlastního programovacího jazyka, to už mi připadá poněkud bizarní.

Zajímavá je také tato část:

Nejsem si jist autorovým zamýšleným sdělením. Ale možná interpretace je, že pro Jana Šimůnka je zdrojový text v TeXu čitelnější, než standardně zapsaný matematický vzorec*. Je možné, že to tak je. Třeba má pan Šimůnek potíže s vizuální pamětí a naopak výrazně vyvinuté algoritmické myšlení. Vysvětlovalo by to jeho celkovou nechuť k jakékoli matematické notaci ("čínskému písmu", jeho slovy), kterou je z jeho článků cítit. Vysvětlovalo by to i to, co se mně jeví jako jeho obsese programovacími jazyky. Možná se tím dá vysvětlit i to, že naučit se mnoho algoritmů považuje zjevně za méně paměťově náročné, než naučit se pravidla pro čtení výrazů typu ln p^q. Pokud to tak je, pak jeho články dávají mnohem větší smysl. Lidé jsou různí a mívají každý nadání na různé věci. Za sebe ale mohu pozitivně říct, že matematika bez abstraktní notace, vyučovaná jako seznam algoritmů, by pro mě byla těžko zvládnutelnou noční můrou.

*) Pro čtenáře, kteří neznají TeX: TeX je program primárně určený k psaní článků obsahujících matematické vzorce. Jakkoli složitý vzorec lze napsat s užitím pouze těch znaků, které naleznete na klávesnici, přičemž TeX sám tento zdrojový text přeloží do sandardní grafické úpravy. Zdrojový text ovšem bývá v porovnání s finální podobou vzorce velmi nečitelný. Například, zdrojový text vzorce pro součet geometrické řady vypadá následovně: \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}.